เราไม่ชอบคณิตศาสตร์เพราะเรากำลังเข้าใจมันผิดอยู่รึป่าว?

ในบทความนี้เราอยากจะมาเล่ามุมมองต่อวิชาคณิตศาสตร์ของตัวเราเอง และอยากจะชวนทุกคนมานั่งคุยกันว่า คณิตศาสตร์ ในความเข้าใจของแต่ละคนคืออะไร มีหน้าตาเป็นยังไง จากคนที่เคยไม่ชอบและเรียนวิชาคณิตศาสตร์แบบไม่ได้เข้าใจมันมาก่อน

ดังนั้นก่อนที่จะเริ่ม เราอยากจะเล่าถึง background ของตัวเองสักนิดนึง

ย้อนกลับไปช่วงมัธยม

ย้อนกลับไปช่วง ม.6 เราเองก็เป็นนักเรียนคนนึงที่ไม่ค่อยได้สนใจการเรียนอะไรเท่าไหร่ ถ้าถามว่าตอนนั้นชอบวิชาคณิตศาสตร์ไหมก็คงจะตอบว่า ไม่ได้ชอบ แล้วก็ไม่ได้เกลียด ที่ไม่ได้ชอบเพราะรู้สึกไม่ได้เห็นความสำคัญขนาดนั้น แล้วก็ไม่ได้เกลียดเพราะเป็นวิชาที่ทำได้ดี (ส่วนหนึ่งอาจจะเพราะมันจำน้อย + มีความเป็น puzzle) เมื่อเทียบกับวิชาอื่น ๆ เช่น เคมี ชีวะ อะไรพวกนั้น

แต่อันที่เกลียดสุด ๆ ก็มีเหมือนกันเช่น การคำนวณพวกสูตรตรีโกณอะไรพวกนี้ เพราะสูตรโคตรเยอะ ต้องนั่งท่องนั่งจำ แถมตอนนั้นเราก็ไม่เคยได้มาตั้งคำถามเลยว่าสูตรพวกนี้มันเอาไปใช้ทำอะไร แล้วทำไมหน้าตามันถึงเป็นอย่างนั้น

พอเข้ามหาลัยมาก็มาเจอวิชา Calculus ซึ่งก็สูตรเยอะเหมือนเดิม เรียนแล้วหลับเหมือนเดิม สุดท้ายเลยต้องมาพยายามทำความเข้าใจอะไรหลาย ๆ อย่างเอง แต่รอบนี้เราลองพยายามเปิดใจมากขึ้น ลองพยายามเข้าใจเหตุและผลเบื้องหลังมากขึ้น เช่น ทำไม diff แล้วถึงได้ความชัน แล้วสูตร diff ที่ท่อง ๆ กันนี่มันมาจากไหน ถึงได้รู้ว่า อ๋อ จริง ๆ แล้วมันก็คือการวาดจุดบนกราฟ แบบติดกันมาก ๆ สองจุด แล้วลากเส้นเชื่อมสองจุดเป็นเส้นตรง และหาความชันจากเส้นตรงนั้น

พอได้เริ่มทำความเข้าใจแนวคิดความเป็นมาที่อยู่เบื้องหลังสูตรต่าง ๆ แล้ว มันทำให้เรารู้สึกว่า จริง ๆ แล้ว สูตรและสมการที่น่ากลัวเหล่านั้น มันซ่อนความหมายหรือความคิดบางอย่างเอาไว้เอาไว้เสมอ เราสามารถทำความเข้าใจมันได้ผ่านการวาดรูป ผ่านการสังเกต ผ่านเหตุและผล เพียงแค่ในหลาย ๆ ครั้ง การเรียนการสอนในโรงเรียนไม่ได้ให้ความสำคัญกับการที่พาเราลงลึกไปสำรวจใต้ภูเขานำ้แข็งเท่านั้นเอง

แน่นอนว่าแนวคิดง่าย ๆ และการลองทำความเข้าใจ ณ​ ตอนนั้น มันเปลี่ยนมุมมองต่อวิชาคณิตและการเรียนของตัวเราเองไปพอสมควร ทุกสิ่งทุกอย่าง (สมการ Physics, Computer algorithms, ideas, etc) มันล้วนเกิดมาจาก observation และ reasoning พื้นฐาน ทุกอย่างมันมี development ของมัน

แล้วสรุปคณิตศาสตร์คืออะไร?

คณิตศาสตร์ as a ภาษา

เรามาเริ่มต้นจากคณิตศาสตร์ที่เราคุ้นเคยกันก่อนดีกว่า โดยปกติเวลาเราเรียนคณิตเราก็มักจะนึกถึงตัวเลข การคำคำนวณ การแก้โจทย์เพื่อหาค่าตัวแปรอะไรอย่างงั้นใช่ไหมครับ

สมมุติเรามีโจทย์ 20 + 5 * 2 เราก็สามารถคำนวณออกมาเป็น step ได้ เช่นเอา 5 * 2 = 10 จากนั้นเอา 20 + 10 ได้คำตอบออกมาเป็น 30

สิ่งที่เราพูดถึงอยู่นี้ถ้าจะเรียกว่าคณิตศาสตร์ก็คงจะไม่ถูกนัก ควรจะเรียกกว่าการคำนวณ หรือ “Computation” จะถูกกว่า

“Computation” is an act of solving a problem by performing operations

ถามว่าเรารู้ได้ยังไงว่าเราต้องเอา 5 * 2 แล้วจากนั้นไปบวก 20 แล้วเรารู้ได้ยังไงว่า 5 * 2 = 10?

เพราะเราเคยเรียนกันตอนประถมใช่ไหมหละครับว่าการบวกต้องทำยังไง และการคูณต้องทำยังไง แล้วลำดับความสำคัญในแต่ละ operation เป็นยังไง ต้องทำอะไรก่อนหลัง

เราเรียกสิ่งนี้ว่า “Algorithm” หรือ a finite, step-by-step instructions to solve problem

ถ้าพูดให้เห็นภาพก็คือเราใช้ algorithm ที่เราถูกสอนตอนเด็ก (ว่าจะถ้าเจอวงเล็บจะต้องทำในวงเล็บก่อน ต้องทำคูณก่อนบวก ขั้นตอนในคูณเป็นยังไง และอื่น ๆ) มาทำ computation เพื่อให้ได้มาซึ่งคำตอบนั่นเอง

ซึ่งประเด็นอยู่ตรงนี้หละครับ ตรงที่ว่าเรามักสัปสนคำว่า Computation กับคำว่า Mathematics; เวลาเราเรียนวิชาคณิตศาสตร์ใน รร เราก็จะพบว่าหลาย ๆ ครั้งโจทย์จะให้คำนวณเพื่อหาค่าอะไรบางอย่างออกมาซึ่งนั้นมันคือ computation มันคือการ follow algorithm

และถ้าพูดถึงคำว่า computation; อีกคำนึงที่หลายคนน่าจะรู้จักคือคำว่า “Computer”; จริง ๆ computer ก็ไม่ได้ต่างกับคำว่า writer, dancer หรอกครับ คำว่า computer มันก็คือ a thing or a person that does computation นั่นหละ (และ computer ก็เคยเป็นอาชีพที่เป็นคนมาก่อนด้วย)

“โรงเรียนกำลังสอนให้คนเป็น Computer ในขณะที่นักพัฒนาเก่ง ๆ ทั่วโลกกำลังสอน Computer ให้กลายเป็นคน (AI)” - อาจารย์ Dave Rawitat

แล้ว Math คืออะไร? เราลองมาเริ่มจากเหตุการณ์ง่าย ๆ กันก่อนดีกว่าครับ สมมุติว่าเรามี Sequence อยู่ประมาณนี้

ถ้าเราลองดูแค่ 1, 3 เราอาจจะงงว่ามันคือ sequence ของอะไร แต่คราวนี้ถ้าเราลองสังเกตไปเรื่อย ๆ เราจะพบว่าตัวเลขมันเพิ่มขึ้นทีละสอง 1, 1 + 2, 1 + 2 + 2, 1 + 2 + 2 + 2, … เราจะพบว่ามันมี pattern ของมันอยู่ และด้วย pattern ตรงนี้เราสามารถเขียน express มันออกมาได้เป็น

หมายความว่า A ตัวที่ n เท่ากับ A ตัวก่อนหน้าบวกด้วย 2; จากสมการด้านบนนี้นอกจากจะสั้นกระชับแล้ว ยังมีความชัดเจนในการอธิบาย pattern ที่เราจะสื่อสารอีกด้วย และแน่นอนว่ายิ่ง pattern มีความซับซ้อนมากเท่าไหร่ การจะอธิบายก็จะยิ่งยาก ดังนั้นภาษาที่มีความชัดเจน ไม่กำกวม ทุกคนอ่านแล้วเห็นภาพเดียวกันเลยมีความสำคัญมาก และภาษานั้นก็คือคณิตศาสตร์

“Mathematics is a language that describes patterns, structure, and reasoning.”

Mathematics มันคือภาษาที่เราใช้อธิบาย pattern และ reasoning ของสิ่งต่าง ๆ ถ้าหากเราสังเกตการตกหรือการโยนของสิ่งของในอากาศเราอาจจะเห็น pattern บางอย่างซึ่งใช้ภาษาของคณิตศาสตร์อธิบายมันออกมาได้ (projectile motion formula, gravity equation) หรือถ้าเราสังเกตทรงกลมหลาย ๆ ขนาดเราอาจจะเห็น pattern บางอย่างที่ใช้ Math เขียนออกมาได้

คณิตศาสตร์ as a เครื่องมือในการแก้ปัญหา

เมื่อเรามีภาษาแล้วย่อมต้องมีความหมาย และความหมายก็เป็นอะไรที่สามารถที่จะนำไปตีความต่อได้ เกิดเป็นการศึกษาในด้านต่าง ๆ (เช่น properties หรือ implication) จนเกิดเป็น theory และ application มากมาย ยกตัวอย่างเช่น

Arithmetic, Number Theory - คือการศึกษาเกี่ยวกับ Pattern ของการนับและตัวเลข

Geometry - ศึกษาเกี่ยวกับ Pattern ของรูปร่าง

Calculus - ศึกษาเกี่ยวกับ Pattern ของการเคลื่อนไหว หรือการเปลี่ยนแปลง

Logic - ศึกษาเกี่ยวกับ Pattern ของการให้เหตุผล

การศึกษาและการตีความหมายพวกนี้มันนำมาสู่ mathematical problem มากมายที่มีการ discuss มีการคิดต่อยอดกันมาเป็นพัน ๆ ปี มันนำมาสู่ algorithm ที่หลากหลาย, proof methods แบบต่าง ๆ หรือการพัฒนา notation ที่โตและหลากหลายมากขึ้น เช่นเดียวกับภาษาที่มีการ develop สร้างศัพท์ใหม่ ๆ อยู่ตลอดเวลา

ด้วยอะไรพวกนี้เราอาจพูดได้เหมือนกันว่า Mathematics มันเป็นเหมือนกับแหล่งของเครื่องมือชั้นดี ชุดความคิด วิธีการต่าง ๆ ที่เราสามารถหยิบมาใช้แก้ปัญหาต่าง ๆ ในชีวิตได้ เช่นเราเจอปัญหา ๆ นึง เราอาจจะหยิบ math model มาใช้ describe ปัญหาให้อยู่ในโลกของ math ได้ จากนั้นเราก็เลือกหยิบ algorithm มา apply มา perform computation เพื่อแก้ปัญหาได้โดยตรง

เราคิดว่าคณิตศาสตร์มันสามารถมองได้ทั้งสองมุมเลย ทั้งในด้านของภาษา และในด้านของเครื่องมือในการแก้ปัญหา และถึงตอนนี้เราก็เชื่อว่าหลายคนน่าจะเห็นภาพคำว่าคณิตศาสตร์มากขึ้นแล้ว

เราควรจะเรียนคณิตศาสตร์กันยังไง ?

เพื่อให้เห็นภาพ ส่วนตัวอยากจะเปรียบเทียบกับ Programming หรือการเขียนโปรแกรมสักนิดนึง เพราะคิดว่ามันมีความเหมือนกันอยู่พอสมควร

“Programming uses code as a language to describe algorithms.”

“Mathematic uses mathematical notation as a language to describe patterns, structure, and reasoning.”

แน่นอนว่า Programming คือการเขียนโค้ด แต่เราจะเขียนโค้ดได้ไม่ดีเลยถ้าเราไม่สามารถ come up with algorithm ได้ หรือขาด problem-solving skills

เราคิดว่า Math ก็เหมือนกัน การ focus กับสมการต่าง ๆ แค่ว่ามันคืออะไร ใช้งานยังไง หรือการ follow algorithm เพื่อทำ computation อย่างเดียว (ซึ่งควรจะเป็นหน้าที่ของ computer ไม่ใช่คน) เราคงจะ express ภาษาของคณิตศาสตร์ออกมาให้ดีไม่ได้ หรือเป็นคนที่สามารถ define ปัญหาออกมาให้ชัดไม่ได้ ถ้าหากเราขาด pattern finding and reasoning skills

สุดท้ายมันน่าคิดนะว่า วิชาที่เราไม่ชอบอย่างเช่น ฟิสิกซ์ เคมี ชีวะ ประวัติศาสตร์ หรืออื่น ๆ เราไม่ชอบมันจริง ๆ หรือเราแค่ยังไม่เข้าใจมันมากพอ